在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为y=5.0cos（kx+2π3）（单位：m），式中k=15m-1，杆足够长，图1中只画出了一部分．将一质量为m=1.0kg的小环（可视为质点）套

Question

在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为y=5.0cos（kx+(2π)/(3)）（单位：m），式中k=(1)/(5)m^-1，杆足够长，图1中只画出了一部分．将一质量为m=1.0kg的小环（可视为质点）套在杆上，取g=10m/s²．
（1）若使小环以v₁=10m/s的初速度从x=0处沿杆向下运动，求小环运动到x=(5π)/(3)（m）处时的速度的大小；
（2）在第（1）问的情况下，求小环在杆上运动区域的x坐标范围；
（3）一般的曲线运动可以分成许多小段，每一小段都可以看成圆周的一部分，即把整条曲线用
系列不同的小圆弧代替，如图2所示，曲线上A点的曲率圆的定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点做一圆，在极限的情况下，这个圆叫做A点的曲率圆．其半径ρ叫做A点的曲率半径．若小环从x=0处以v₂=5√(10)m/s的速度出发沿杆向下运动，到达轨道最低点P时杆对小环的弹力大小为70N，求小环经过轨道最高点Q时杆对小环的弹力．

Answer 1

（1）据曲线方程可知，当x=0时，y=-2.5m；当x=(5π)/(3)（m），y=-5m．
由x=0时到x=(5π)/(3)（m）为研究对象，由机械能守恒定律得：
(1)/(2)m

v

2 1

=-mg（5-2.5）+(1)/(2)mv2
代入数据解得：v=5√(6)m/s
（2）分析可知，小环在曲线上运动机械能守恒，当运动到最高点是速率为零，据机械能守恒定律得：
(1)/(2)m

v

2 1

+mg（-2.5）=mgh[h为最高点到x轴的距离]…①
据曲线方程：h=5.0cos（kx+(2π)/(3)）…②
联立①②解得：x=5π，所以−(5π)/(3)≤x≤5π；
（3）由小环从x=0处到最低点为研究对象，据机械能守恒定律得：
(1)/(2)m

v

2 2

+mg（-2.5）=(1)/(2)m

v

3 3

-5mg（v₃为最低点的速度）…③
再最低点为研究对象，据牛顿第二定律得：
F-mg=(mv23)/(R)　（F为最低点时，小环与轨道的弹力）…④
由小环x=0到最高点为研究对象，据机械能守恒定律：
(1)/(2)m

v

2 2

+mg（-2.5）=5mg+(1)/(2)m

v

2 4

（　v₄为最高点的速度）…⑤
再最高点为研究对象，据牛顿第二定律得：
mg-F₂=(mv23)/(R)　（F₂为最高点时，小环与轨道的弹力）…④
联立③④⑤⑥解得：F₂=-10N，负号表示方向竖直向下
答：（1）若使小环以v₁=10m/s的初速度从x=0处沿杆向下运动，求小环运动到x=(5π)/(3)（m）处时的速度的大小5

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