大学高等数学题已知三角形周长为2p,求出这样的三角形,当他饶自己的一边旋转所形成立体的体积为最大.用多元函数求极值的方法可能好做点,这节就学的这个

Question

大学高等数学题
已知三角形周长为2p,求出这样的三角形,当他饶自己的一边旋转所形成立体的体积为最大.
用多元函数求极值的方法可能好做点,这节就学的这个

Answer 1

设三角形的三边为x,y,z.不妨设它绕y边旋转,y边上高为h,面积为S,于是
yh=2S=2√[p（p-x)(p-y)(p-z)]而旋转体体积为
V=(1/3)*(π*h^2)*h=[（4/3）πp（p-x)(p-y)(p-z)]/y,其中x+y+z=2p
为简便计,求u=ln（p-x)+ln（p-y)+ln（p-z)-lny 在条件x+y+z=2p下的驻点
令F（x,y,z）=ln（p-x)+ln（p-y)+ln（p-z)-lny+ Q（x+y+z-2p）
分别求关于x,y,z的偏导,所得的三个方程与
x+y+z-2p=0联立
消去Q
求得x=z=(3/4)*p
y=(1/2)*p,P(3p/4,p/2,3p/4)为其驻点
故V的最大值为V=（πp^3）/12