为什么3次本原单位根ξ满足ξ+1/2=(√-3)/2?抽象代数中推导特征零域上的3次一般方程求根公式用到了这个结论,但没说明为什么.如果ξ是复根,我也明白该式成立,但3次本原单位根ξ并非就是复数,

Question

为什么3次本原单位根ξ满足ξ+1/2=(√-3)/2?
抽象代数中推导特征零域上的3次一般方程求根公式用到了这个结论,但没说明为什么.如果ξ是复根,我也明白该式成立,但3次本原单位根ξ并非就是复数,它就是乘法3阶元素,这我就不明白了.此外另有加分答谢.

Answer 1

特征0的话都是一样的.
设ξ是3次本原单位根, 则ξ³ = 1, 且ξ ≠ 1.
0 = ξ³-1 = (ξ-1)(ξ²+ξ+1).
由ξ-1 ≠ 0, 在域中非零元均可逆, 故ξ²+ξ+1 = 0.
可改写为4(ξ+1/2)² = -3.
即2(ξ+1/2)是-3在域中的一个平方根, 记为√(-3).
ξ+1/2 = √(-3)/2.
只用到有理数(是特征0的域的子域)的运算和域的基本性质.