求加法结合律

Question

求加法结合律

Answer 1

字母表示：a+b+c=a+(b+c)
数字表示：1+2+3=6=1+(2+3)=6
证明
下面从皮亚诺公理体系出发,使用数学归纳法,给出加法结合律的一个严格证明.其中,S(k)表示k的后继序数.简单来说S(k)=k+1.
要证明(m+n)+k=m+(n+k),对k归纳.
1.k=0,由加法定义得(m+n)+0=m+n和m+(n+0)=m+n,因此结合律对k=0成立.
2.假设结论对k成立,即(m+n)+k=m+(n+k).下证结论对S(k)成立,
由加法定义可得:(m+n)+S(k)=S((m+n)+k);
以及m+(n+S(k))=m+S(n+k)
=S(m+(n+k))
又由归纳假设(m+n)+k=m+(n+k)
因此S((m+n)+k)=S(m+(n+k))
所以(m+n)+S(k)=m+(n+S(k))
故结论对S(k)亦成立,由归纳公理,结论得证.
例：156+147+53=156+（147+53）
=156+200
=356（简便运算）