定义一种运算“&”（是题目中的一个符号不是其他数学符号）对任何两个正数a和b有a&b=a+b分之ab,验证“&”是否有交换律、结合律、分配律?即a&b=b&a,（a&b）&c=a&(b&c),a&(b+c)=(a&b)+(a&c)是否成

Question

定义一种运算“&”（是题目中的一个符号不是其他数学符号）对任何两个正数a和b有a&b=a+b分之ab ,验证“&”是否有交换律、 结合律、 分配律?即 a&b=b&a ,（a&b）&c=a&(b&c) ,a&(b+c)=(a&b)+(a&c)是否成立?请在给出一种新运算,使其具有交换律结合律.

Answer 1

ab ba
交换律：a&b=--- ,则b&a=---=a&b
a+b b+a
ab
----*c
ab a+b abc
结合律：（a&b)&c=---&c=------=---------
a+b ab ab+ac+bc
----+c
a+b
bc
a*---
bc b+c abc
a&(b&c)=a&---=-----=----------=(a&b)&c
b+c bc ab+ac+bc
a+----
b+c
a(b+c)
分配率：a&(b+c)=-------
a+b+c
ab ac ab(a+c)+ac(a+b) a^2b+2abc+a^2c
(a&b)+(a&c)=----+-----=---------------=----------------
a+b a+c (a+b)(a+c) (a+b)(a+c)
a(ab+2bc+ac)
=-------------
(a+b)(a+c)
abc a(ab+2bc+ac)
a&(b+c)-(a&b)-(a&c)=------- - ------------
a+b+c (a+b)(a+c)
=……
=0
所以成立