桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式．某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出

Question

桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式．
某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地
1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土
堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘周围的基围
宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a：b=1：2．
（1）试用x，y表示S；
（2）若要使S最大，则x，y的值各为多少？

Answer 1

（1）由题可得：xy=1800，b=2a，
则y=a+b+6=3a+6，
即a=(y−6)/(3)．
S=（x-4）a+（x-6）×b=（3x-16）(y−6)/(3)
=1832-6x-(16)/(3)y（x＞0）．
（2）法一：S=1832-6x-(16)/(3)y≤1832-2√(6x×(16)/(3)y)
=1832-480=1352，
当且仅当6x=(16)/(3)y，即x=40，y=45时，S取得最大值1352．
法二：S=1800-6x-(16)/(3)×(1800)/(x)+32=1832-（6x+(9600)/(x)）≤1832-2√(6x(9600)/(x))
=1832-480=1352，
当且仅当6x=(9600)/(x)，即x=40时取等号，S取得最大值．
此时y=(1800)/(x)=45．
法三：设S=f（x）=1832-（6x+(9600)/(x)）（x＞0）
f′（x）=(9600)/(x2)-6=(6(40−x)(40+x))/(x2)．
令f′（x）=0，得x=40．
当0＜x＜40时，f′（x）＞0；当x＞40时，f′（x）＜0．
∴当x=40时，S取得最大值，此时y=45．