12个球,难区分,11个同重,1个不等,有一没刻度,没砝码的天平,如只许称3次,怎能区分那个不同的球?

Question

12个球,难区分,11个同重,1个不等,有一没刻度,没砝码的天平,如只许称3次,怎能区分那个不同的球?

Answer 1

　　答案：一
　　①②③④‖⑤⑥⑦⑧
　　Ⅰ、①②③④＝⑤⑥⑦⑧ →次品在⑨⑩⑾⑿中,①②③④⑤⑥⑦⑧为标准球,记●
　　⑨⑩⑾‖●●●
　　一、⑨⑩⑾＝●●● →次品为⑿
　　二、⑨⑩⑾＞●●● →次品在⑨⑩⑾中,而且次品为重.
　　⑨‖⑩
　　⒈⑨＝⑩ →次品为⑾
　　⒉⑨＞⑩ →次品为⑨
　　⒊⑨＜⑩ →次品为⑩
　　三、⑨⑩⑾＜●●● →次品在⑨⑩⑾中,而且次品为轻.
　　⑨‖⑩
　　⒈⑨＝⑩ →次品为⑾
　　⒉⑨＞⑩ →次品为⑩
　　⒊⑨＜⑩ →次品为⑨
　　Ⅱ、①②③④＞⑤⑥⑦⑧ →次品在①②③④⑤⑥⑦⑧中,⑨⑩⑾⑿为标准球,记●
　　①②③⑤⑥‖④●●●●
　　一、①②③⑤⑥＝④●●●● →次品在⑦⑧中,而且次品为轻.
　　⑦‖●
　　⒈⑦＝● →次品为⑧
　　⒉⑦＜● →次品为⑦
　　⒊不可能出现⑦＞●
　　二、①②③⑤⑥＞④●●●● →次品在①②③中,而且次品为重.
　　①‖②
　　⒈①＝② →次品为③
　　⒉①＜② →次品为②
　　⒊①＞② →次品为①
　　三、①②③⑤⑥＜④●●●● →次品在⑤（轻）⑥（轻）或④（重）中
　　④⑤‖●●
　　⒈④⑤＝●● →次品为⑥
　　⒉④⑤＜●● →次品为⑤
　　⒊④⑤＞●● →次品为④
　　Ⅲ、①②③④＞⑤⑥⑦⑧情况同Ⅱ.
　　（①②③④号码改为⑤⑥⑦⑧,⑤⑥⑦⑧号码改为①②③④,推理同Ⅱ）
　　注：‖为天平称称量.ⅠⅡⅢ为第一次称量情况分支,一二三为第二次称量情况分支⒈⒉⒊为第三次称量情况分支.标准球记●
　　答案：二
　　把12个球编成1,2.12号,则可设计下面的称法：
　　左盘 *** 右盘
　　第一次 1,5,6,12 *** 2,3,7,11
　　第二次 2,4,6,10 *** 1,3,8,12
　　第三次 3,4,5,11 *** 1,2,9,10
　　每次都可能有平、左重、右重三种结果,搭配起来共有27种结果,但平、平、平的结果不会出现,因为总有一个球是不相等的.同样左、左、左,右、右、右的结果也不回出现,因为根据设计的称法,没有一个球是三次都在左边或右边的.剩下的24种结果就可以判断出哪种情况是哪一个球了.例如：如果结果是平、平、左或是平、平、右,就可判断出是9号球,因为第一次与第二次都没有9号球,唯独第三次有9号球,而第一次与第二次都是平的,只有第三次是失衡的,说明9号球的重量与其它的球不同.可依据此原理判断出其它的各种情况分别是哪个球.
　　有12个球,而坏球又可能比好球轻也可能比好球重,所以总共有12x2=24种可能,24可能结果如下表：
　　
　　1号球,且重 －左、右、右 1号球,且轻 －右、左、左
　　2号球,且重 －右、左、右 2号球,且轻 －左、右、左
　　3号球,且重 －右、右、左 3号球,且轻 －左、左、右
　　4号球,且重 －平、左、左 4号球,且轻 －平、右、右
　　5号球,且重 －左、平、左 5号球,且轻 －右、平、右
　　6号球,且重 －左、左、平 6号球,且轻 －右、右、平
　　7号球,且重 －右、平、平 7号球,且轻 －左、平、平
　　8号球,且重 －平、右、平 8号球,且轻 －平、左、平
　　9号球,且重 －平、平、右 9号球,且轻 －平、平、左
　　10号球,且重－平、左、右 10号球,且轻－平、右、左
　　11号球,且重－右、平、左 11号球,且轻－左、右、平
　　12号球,且重－左、右、平 12号球,且轻－左、右、平
　　上面的24种结果里面没有一个重复的,也可以把上面的结果反过来当成可能,也可唯一的推出那个球为坏球,证明此方法可行.