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一栋大楼共33层,电梯停在第1层,现在有32个人分别要去第2层、第3层…第33层,他们可以选择坐电梯或者走楼梯.有一天电梯坏了,电梯只能在某一层停,每个人可以选择走楼梯上楼或乘电
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一栋大楼共33层,电梯停在第1层,现在有32个人分别要去第2层、第3层…第33层,他们可以选择坐电梯或者走楼梯.有一天电梯坏了,电梯只能在某一层停,每个人可以选择走楼梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯.每个人上一层楼梯会有3份不满意,下一层楼梯会有1份不满意.请问:电梯停在哪一层,才能使得所有人不满意的总份数最小?
▼优质解答
答案和解析
将人群分成三组,A组:直接上楼;B组:从电梯下楼;C组:从电梯上楼;
由于各种组合是有限的,因此最小值是存在的,那么在达到最小值时,下楼的人数是一个确定的值m,
除了1人不需要上下楼,上楼的人数为31-m,
这31-m个人分在A,C两组,由于A,C两组的地位均等,因此要达到最小值人数要相等,但涉及到整数有可能相差1人,
设A组的人有n,那么爬得最高的人要爬n层,3n分,
如果C组的人比A组的人数多2个以上,则C组爬得最高的人>=3(n+2),
这样如果我们从C组中移1个人到A组,将至少减少3(n+2)分,
而A组增加1人增加的分是3(n+1),显然会使总分减少,
同时B组的人数没有变动,分值没有变化,
由此说明了A,C组人数应当相等或相差1人,
基于以上分析,先考虑AC组人数相等的情况:
设A,C组人数均为x,B组人数为31-2x,
总分S=
=5x2-60x+496,
当x=
=6,S最小=316.
由于各种组合是有限的,因此最小值是存在的,那么在达到最小值时,下楼的人数是一个确定的值m,
除了1人不需要上下楼,上楼的人数为31-m,
这31-m个人分在A,C两组,由于A,C两组的地位均等,因此要达到最小值人数要相等,但涉及到整数有可能相差1人,
设A组的人有n,那么爬得最高的人要爬n层,3n分,
如果C组的人比A组的人数多2个以上,则C组爬得最高的人>=3(n+2),
这样如果我们从C组中移1个人到A组,将至少减少3(n+2)分,
而A组增加1人增加的分是3(n+1),显然会使总分减少,
同时B组的人数没有变动,分值没有变化,
由此说明了A,C组人数应当相等或相差1人,
基于以上分析,先考虑AC组人数相等的情况:
设A,C组人数均为x,B组人数为31-2x,
总分S=
x(x+1)×3+(32−2x)(31−2x) |
2 |
当x=
60 |
2×5 |
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