普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A

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普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体F的折射率．实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中．令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心O，经端面折射进入光纤，在光纤中传播．由点O出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为α₀，如图1所示．最后光从另一端面出射进入流体F．在距出射端面h₁处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为d₁，然后移动光屏D至距光纤出射端面h₂处，再测出圆形光斑的直径d₂，如图2所示．
（1）若已知A和B的折射率分别为n_A与n_B，求被测流体F的折射率n_F的表达式．
（2）若n_A、n_B和α₀均为未知量，如何通过进一步的实验以测出n_F的值？

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答案和解析

（1）．由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图17-6-1为纵剖面内的光路图，设由O点发出的与轴的夹角为α的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i．该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为α．若该光线折射后的折射角为θ，则由几何关系和折射定律可得
i+α=90°（1）
n_Asinα=n_Fsinθ（2）
当i大于全反射临界角i_C时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面，而i＜i_C的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了．因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于i_C，i_C的值由下式决定n_Asini_C=n_B（3）
与i_C对应的α值为α_C=90°-i_C（4）
当α₀＞α_C时，即sinα0＞sinαC＝cosiC＝

1−sin2iC

＝

1−(

时，或nAsinα0＞

−

时，由O发出的光束中，
只有α≤α_C的光线才满足i≥i_C的条件，才能射向端面，此时出射端面处α的最大值为
α_max=α_C=90°-i_C（5）
若α₀＜α_C，即nAsinα0＜

−

时，则由O发出的光线都能满足i＞i_C的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处α的最大值为α_max=α₀（6）
端面处入射角α最大时，折射角θ也达最大值，设为θ_max，由（2）式可知n_Fsinθ_max=n_Asinα_max（7）
由（6）、（7）式可得，当α₀＜α_C时nF＝