选择一个角度(如导数或积分的角度)谈谈你对微积分的认识

Question

选择一个角度(如导数或积分的角度)谈谈你对微积分的认识

Answer 1

新年好!Happy Chinese New Year !
下面给楼主提供三个角度的认识,希望能对楼主是个启发.
第一方面：不用任何专业术语,只用日常生活的比喻来大概说明一下微积分的原理.
一、微分的思想：
从上海到拉萨的平均坡度是多少?（高度比上距离）
从成都到拉萨的平均坡度是多少?
从古玉到拉萨的平均坡度是多少?
从墨脱到拉萨的平均坡度是多少?
从大丁卡到拉萨的平均坡度是多少?
.
距离越来短,从大范围的平均坡度,到小范围内平均坡度,到很小很小距离内的平均坡度,.,一直这样无止境的下去,最后得到一个点的坡度值.
你的头发,在过去的十年中,平均每秒长多长?
在过去的一年中,平均每秒长多长毫米?
在过去的半年中,平均每秒长多长毫米?
在过去的一个月中,平均每秒长多长毫米?
在过去的一星期中,平均每秒长多长毫米?
在过去的12小时中,平均每秒长多长毫米?
在过去的10分钟内,平均每秒长多长毫米?
在过去的10秒内, 平均每秒长多长毫米?
在过去的0.1秒内,平均生长速度(仍然按米每秒表示)?
在过去的0.001秒内,平均生长速度(仍然按米每秒表示)?
在过去的0.00001秒内,平均生长速度(仍然按米每秒表示)?
在过去的0.0000001秒内,平均生长速度(仍然按米每秒表示)?
.
这样从平均增长速度算到了瞬时增长速度.
以上两例就是微分.
二、积分的思想：
在一张绘图纸上,画一个圆(半径250px),绘图纸的小方格是25px×25px,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是2.5px×2.5pxm,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是0.025px×0.025px,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是0.00025px×0.00025px,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是0.0000024999999999999998px×0.0000024999999999999998px,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是2.5000000000000002e-8px×2.5000000000000002e-8px,估算圆的面积；
绘图纸的小方格是2.4999999999999996e-10px×2.5e-9px,估算圆的面积；
.
这样的估计越来越准确.
将一条曲线分成10段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成100段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成10000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成1000000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成100000000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成10000000000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成1000000000000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成100000000000000段,将每每一段的直线距离加起来；
将该曲线分成10000000000000000段,将每每一段的直线距离加起来；
.
这样算出的长度当成曲线的长度越来越准确.
以上两例就是积分思想.
微积分 = 微分 + 积分
第二方面：微积分是什么?

微积分= 微分 + 积分
Calculus = Differentiation + Integration

一、微分
1、微分的思想：
微分,就是微小的划分,细而微之.
思想的演化：
difference(差别) ⇒differentiate (划分) ⇒differentiation(微分)

2、微分的方法：
A、对任何曲线上的任意两点的连线,计算该连线的斜率,这是一个平均斜率的概念；
B、将这两个点无止境地靠近,用计算极限的方法,算出图形上一个任意点处的斜率；
C、因为点的选取是任意的,所以就得到了一个新的函数,通过新的函数就可以计算
原来曲线上每一个点的斜率,也就是可以得到原来函数整体变化规律的新的函数,
这个新函数我们给他起名为导函数,简称导数(derivativefunction),原来的函数
称为原函数(antiderivativefunction,意思就是originalfunction,只是鬼子不喜欢
用 original这个词),derivative是导出、派生、衍生的意思,anti-是反其道而行之、
反向追溯、追根溯源的意思；
D、对这个新的函数,运用同样的方法,可以进一步得到导函数的导数,我们称它为
二阶导函数,简称二阶导数(secondderivative function).以此类推.

3、微分的意义：
微分的意义实在太广、太普遍,写上千万本书也只是沧海一粟,挂一漏万.
下面举三个简单的例子：
A、纯粹几何图形上的意义：
一阶导数可以计算图形的切线、法线的斜率(gradient)；
一阶导数、二阶导数结合起来可以研究图形的极值问题(optimization,extrema)；
图形的凹凸性(Concativity)、连续性(Continuity).
B、运动学上的意义：
位置矢量的一阶导数是速度是矢量,二阶导数是加速度矢量.
C、电磁学上的意义：
电量的导数可以计算电流强度,电流强度的导数可以计算感生电动势.

二、积分
1、积分的思想：
积分,就是求和,就是积而广之.
思想的演化：
Summation for finiteterms (有限项的求和)⇒
Summation for infiniteterms (无限项的求和)⇒
Summation for infiniteterms with infinitesimal values (无限项无穷小的求和)⇒
Integral / Integration /Intigrating (积分).

2、积分的方法：
A、无限分割(endlesslydividing, division with infinite process)；
B、求和,把无限分割出来的任意小块求和,通过计算极限的方法,得到一个
结果：如果是在确定的区间上分割求和,得到的就是一个值；
如果是在不确定的区间上分割求和,得到的是一个新的函数.
C、这个新的函数就是导函数,antiderivativefunction；
D、对导函数还可以继续不断地积分.

3、积分的意义：
同样地,积分的意义充满着整个自然科学、工程科学的各个学科,无法一一罗列.
下面同样列举三个例子：
A、纯粹几何图形上的意义：
计算任何曲线的长度；任何图形的面积；任何物体的体积.
B、运动学上的意义：
通过加速度计算速度,通过速度计算位移.
D、电磁学上的意义：
计算电场强度分布；计算电势分布；计算磁感应强度分布；计算电磁场能量；
计算感生电动势等等.

第三方面：具体极限的例子说明
为了说明清楚,下面的解答中,会有一些英文,希望不引起楼主的反感.
1、极限,limit,limitation
我们汉语中的翻译、汉语的理解,过于注重了“限”,把极限理解成了单纯的“限制”.
例如：身体的极限,体能的极限,、、、都是在强调一个不可逾越的限制；
又如：当x→∞时,y = 1 - 1/x 的极限是1.也就是说y永远超不过1的限制.
汉语的这种翻译,不能算错,但是也不全对,因为我们忽略了另外一个方面,那就是
“tendency”,就是趋势,一个从过程方面考虑的事情,也就是一个不断的“趋近”过程,
趋近=approach.
0.3 = 1,严格来说,对吗?不对!这是大家都不假思索的回答.
0.33 = 1,严格来说,对吗?不对!这也是大家都不假思索的回答.
0.333 = 1,严格来说,对吗?不对!这还是大家都不假思索的回答.
0.33. = 1,严格来说,对吗?不对!这仍是大家都不假思索的回答.
那么1÷3 = ?绝大部分人会异口同声地说：0.3333333333.
欢呼雀跃的时候,很少会忧心忡忡.绝大部分人不会想到我们的运算逻辑已经出了问题!
我们平时陶醉于“悠久、文明、勤劳、勇敢、聪明、、、、”,绝不会反向思考是一样的,
我们的文化没有质疑精神,我们文化没有定量成分,我们的文化没有精益求精的本能.
所以,就出现了上面的情况.
上面的问题,可以概括起来说,就是一个问题：
0.99的循环是大约等于1?
还是严格等于1,没有丝毫的误差?
如果你的回答是大约等于,非常近似的等于1,那么你就是一个正常的人；
如果你的回答是严格等于1,那么恭喜你,你是一个了不起的人,已经超凡脱俗!
因为你认为是严格等于1,你已经不是传统中国人的思维了,如果你早生几百年,
咱们中国的科学研究,就不会这么糟糕,这么落后,这么下里巴人、愚昧不堪了.
可惜,你迟生了几百年.
古代的中国与西方,尤其是地中海沿岸的国家,彼此彼此；现代的中国科学严重
落后,就是从极限理论开始的.我们有诡辩学,他们有paradox,结果,我们摇头
晃脑地几百年,没有丝毫长进,时至今时今日,我们的学者砖家们,这样的人依然
是“主流”.人家由此建立了微积分,有了文艺复兴,有了工业革命.而我们,依然
如斯,下里巴人一群,在现代的数学理论上、科学理论上,没有丝毫的发言权.
而且摆明了不想有发言权,看看现在的教课书就明白,我们胡搅蛮缠的东西一大堆,
就可以明白,我们很多人的性格是破罐子破摔,赶超国际,那是几百年后的梦想了.
所以,楼主加加油,或许你能悟出什么.
2、无穷大,infinity
上面讲了,极限是一个过程,我们过多的强调了极限的“限”,过于眼高手低地忽略了
过程的tendency,trend,approaches,所以,我们没有能力建立微积分理论.
因为极限是一个过程,是无止境地趋向于一个值,这个值是定值,我们就说有极限.
例一：当x→3时,x²→9. 就是说,当x无止境地趋向于3时,
x²就无止境的趋向9.
例二：当x→0时,sinx→0,(sinx)/x→1.就是说,当x无止境地趋向于0时,
sinx也无止境的趋向0,
sinx/x的比值却趋向于1.
分母虽然不能为0,但可以无止境地趋向于0,比值居然是一个非0非无穷的数!
就凭这一点,就超出了我们的集体想象能力,
那七个不定式更是超出了我们的集体的智能,
后面随之而来的一大堆理论,完全超出了我们的集体智商,
我们连理解都困难重重,更遑论从无到有地系统建立起来?
今时今日,很多被民脂民膏养得脑满肠肥的教授们,依然在竭尽误导之能事.
极限存在,是指有一个固定的值,这个值是函数可能达到的,也可能是无限趋近的；
无穷大,不是一个具体的数,所以,趋向于无穷大,就是不存在极限.
由于我们的懒惰成性、成癖,我们依然谁说它的极限是无穷大.
极限不存在,是指四个意思：
1、没有一个具体的值,例如∞,是越来越大,无止境地大下去,就是极限不存在；
2、虽然没有→∞,但一直在波动,如sinx,永远在±1之间波动,那么极限不存在；
3、左右极限可能一则存在,一侧不存在,那么我们说极限不存在；
4、两侧极限可能都存在,但两侧极限不相等,那么我们还是说极限不存在.