设f（x）=ax2+bsinx+c，x≤0ln(1+x)，x＞0，问a，b，c，为何值时，f（x）在x=0处一阶导数连续，但二阶导数不存在？

Question

设f（x）=

ax2+bsinx+c，x≤0

ln(1+x)，x＞0

，问a，b，c，为何值时，f（x）在x=0处一阶导数连续，但二阶导数不存在？

Answer 1

因为f（0-0）=c，f（0+0）=0，f（0）=c，
故由f（x）在x=0处连续可得，
c=0．
利用导数的定义可得，

f

′ −

(0)＝

lim

x→0−

(f(x)−f(0))/(x−0)＝

lim

x→0−

(ax2+bsinx−0)/(x)＝b，

f

′ +

(0)＝

lim

x→0+

(f(x)−f(0))/(x−0)＝

lim

x→0−

(ln(1+x)−0)/(x)＝1，
所以，当b=1时，f（x）在x=0处可导，且
f′(x)＝

2ax+cosx，	x＜0
1，	x＝0
(1)/(1+x)，	x＞0

．
因为

lim

x→0−

f′(x)＝

lim

x→0+

f′(x)＝f′(0)＝1，
所以当b=1，c=0时，f（x）在x=0处的一阶导数连续．
因为

f

″ −

(0)＝

lim

x→0−

(f′(x)−f′(0))/(x−0)＝

lim

x→0−

(2ax+cosx−1)/(x−0)＝2a，

f

″ +

(0)＝

lim

x→0+

(f′(x)−f′(0))/(x−0)＝

lim

x→0+

((1)/(1+x)−1)/(x)＝−1，
所以当-2a≠1，即a≠−(1)/(2)时，f（x）在x=0处二阶不可导．
综上所述，a≠−(1)/(2)，b=1，c=0．