设A为n阶实反称阵,则对任意n维实向量X,有XT(XT是X的转置)AX=0.

Question

设A为n阶实反称阵,则对任意n维实向量X,有XT(XT是X的转置)AX=0.

Answer 1

A反对称,所以 A^T=-A
注意X^TAX 一定是一阶的矩阵,因此其转置等于自己（解此题的关键之处!）,即
(X^TAX)^T=X^TAX.(1)
但由矩阵性质,又有：
(X^TAX)^T=X^TA^TX=X^T(-A)X=-X^TAX.(2)
由此得到 X^TAX=-X^TAX
但X^TAX 只是一个一阶矩阵,等同于一个数,而一个数与其相反数相等,必为0.
其实这个题目,你把X^TAX直接按分量乘出来也知道为0.