人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴旋转．但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消

Question

人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴旋转．但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转．减慢或者消除卫星旋转的一种方法是所谓的“YO-YO”消旋法，其原理如图．
设卫星是一半径为R、质量为M的薄壁圆筒，其横截面如图所示．图中O是圆筒的对称轴．两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q'（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一质量为m/2的小球．正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P₀、P₀'处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转．卫星自转的角速度为ω₀．若要使卫星减慢或停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的．当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，接触小球与卫星的联系，于是卫星停止转动．已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q'处．试求：
（1）当卫星角速度减至ω时绳拉直部分的长度l；
（2）绳的总长度L；
（3）卫星从ω₀到停转所经历的时间t．

Answer 1

1． 设在时刻，小球和圆筒的运动状态如图1所示，

小球位于P点，绳与圆筒的切点为T，P到T的距离即绳的拉直部分的长度为l，圆筒的角速度为ω，小球的速度为v．
小球的速度可以分解成沿着绳子方向的速度v₁和垂直于绳子方向的速度v₂两个分量．
根据机械能守恒定律和角动量守恒定律有：
 (1)/(2)M(Rω 0)2+(1)/(2)m(Rω 0)2=(1)/(2)M(Rω)2+(1)/(2)m(v1+v2)2…①
 MR²ω₀+mR2ω0＝MR2ω+mR2v1+mR2v2…②
因为绳子不可伸长，v₁与切点T的速度相等，即
v₁=Rω…③
解①②②式得
ω＝((M+m)R2−ml2)/((M+m)R2+ml2)…④
v2＝((M+m)R2l)/((M+m)R2+ml2)…⑤
由④式可得
l＝R√((M+m)/(m)•(ω0+ω)/(ω0+ω))…⑥
这便是在卫星角速度减至ω时绳的拉直部分的长度．
2．由⑥式，当ω=0时，得：
L＝R√((M+m)/(m))…⑦
这便是绳的总长度L．
3．从时刻t到t+△t，切点T跟随圆筒转过一角度△θ=ω△t，由于绳子的拉直部分的长度增加了，切点相对圆筒又转过一角度，到达T′处，所以在△t时间内，切点转过的角度：
△θ＝ω△t+(△l)/(R)…⑧
切点从T变到T′也使切线方向改变了一个同样的角度，而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子方向的速度v₂引起的，故有：
 △θ＝(v2△t)/(l)…⑨
由①②③式：
 v₂=l（ω₀+ω）…⑩
由⑧⑨⑩三式得：
△l=Rω△t，
上式表示l随t均匀增加，故l由0增加到L所需的时间为：
t＝(1)/(ω0)√((M+m)/(m))
答：（1）当卫星角速度减至ω时绳拉直部分的长度l＝R√((M+m)/(m)•(ω0+ω)/(ω0+ω))；
（2）绳的总长度L＝R√((M+m)/(m))；
（3）卫星从ω₀到停转所经历的时间t＝(1)/(ω0)√((M+m)/(m))．