现在有12颗珠子其中有一颗的质量与其他不一样但不知道比其他质量大还是小只能用天平称3次怎么找出这颗珠子?

Question

现在有12颗珠子
其中有一颗的质量与其他不一样
但不知道比其他质量大还是小
只能用天平称3次
怎么找出这颗珠子?

Answer 1

把12个球分别编上号,并随意分成3组.不失一般性,分别为：
（1、2、3、4）..①；（5、6、7、8）..②；（9、10、11、12）..③.
第一称:把①与②组放在天平两端称.结果有两种情况：一种是平；另一种是不平,不妨假设组①重于组②.
先来看平的情况.则1-8号球全部正常.次品必在组③,即在9-12号球中.
在9-12号球中任选3个,不妨选（9、10、11）...④,存下12号球：在正常球1-8号球中也任选3个,不妨选（1、2、3）...⑤.
对④与⑤进行第二次称.结果有三：④＝⑤；④＞⑤；④＜⑤.
如果④＝⑤时,次品是12号球.第三次用12号球与任意一个正常球称,则可立马将12号次品球是偏重、还是偏轻正确判断出来 .
如果④＞⑤时,则次品球必在组④的3个球内,且重于正常球.这时,在9-11号3个球中任选两个（不妨设是9与10号球）,再放到天平上称第三次.这时有三种情况：9＝10；9＞10；9＜10.
当9＝10时,次品必是11号球,它比正常球要重；当9＞10时,则偏重的9号球是次品；当9＜10时,偏重的10号球是次品.
同理可证④＜⑤时的情况.
对于另一种不平的情况改次再证明.继续证明.
当不平时有两种情况,即组①＞组②；组①＜组②.
现在来讨论当组①＞组②的情况.即（1、2、3、4）重于（5、6、7、8）.
将组①与组②中的球进行调整,并重新编组：组①中留下3号球,拿出4号球,并把1、2球改放到组②中去,并添入正常球一个,不妨设为9号球；组②中留下7号球,拿出6、8号球,并把5号球改放到组①中去,编成新组：（5、3、9）…③；（1、2、7）…④.
现在进行第二称,即把组③和组④放在天平上称.结果有三：
③＝④；③＞④；③＜④.
当③＝④时.则次品球必在拿出去的几个球内,即在4、6、8号3个球内,且知4号球至少重于6号、8号球中的一个.这时用6号球与8号球进行第三次称,结果是6号＝8号；6号＞8号；6号＜8号.当6号＝8号时,则4号球是次品球,且它比正常球要重；当6号＞8号时,则次品是8号球,它比正常球要轻；当6号＜8号时,则次品是6号球,它比正常球要轻.
当③＞④时.说明:变动后的组仍保持着原有组的重轻本质,这是由组内保持不变的球造成的,则次品球必在3号与7号球之间,且知道3号球一定重于7号球.这时进行第三次称：从3、7号球中任选一与正常球称,不妨选3号球与正常球9号称.结果有：3号＝9号；3号＞9号；3号＜9号.当3号＝9号时,则次品是7号球,它比正常球要轻；当3号＞9号时,则次品是3号球,它比正常球要重；当3号＜9号时,又由3号＞7号,则3号与7号均是次品,这不可能,因为与条件中规定的次品只有一个矛盾.
当③＜④时.这是由交换了组别的球造成的,因此,次品球必在1、2、与5号之间,且5号球至少轻于1、2号球中的一个.这时用1、2号球进行第三次称,.结果有：1号＝2号；1号＞2号；1号＜2号.当1号＝2号时,次品是5号它比正常球要轻；当1号＞2号时,这时次品是1号,它比正常球要重；当1号＜2号时,又5号也小于2号,则次品是2号,它比正常球要重.
同理可证:组①＜组②.