设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，1）的简单随机样本，.X为样本均值，记Yi＝Xi−.X，i＝1，2，…，n．求：（Ⅰ）Yi的方差DYi，i=1，2，…，n；（Ⅱ）Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn）．

Question

设X₁，X₂，…，X_n（n＞2）为来自总体N（0，1）的简单随机样本，

.

X

为样本均值，记Yi＝Xi−

.

X

，i＝1，2，…，n．
求：（Ⅰ） Y_i的方差DY_i，i=1，2，…，n；
（Ⅱ）Y₁与Y_n的协方差Cov（Y₁，Y_n）．

Answer 1

由题设，知X₁，X₂，…，X_n（n＞2）相互独立，且EX_i=0，DX_i=1（i=1，2，…，n），E

.

X

＝0．
（Ⅰ）DYi＝D(Xi−

.

X

)＝D[(1−(1)/(n))Xi−(1)/(n)

n

j≠i

Xj]
=(1−(1)/(n))2DXi+(1)/(n2)

n

j≠i

DXj
=((n−1)2)/(n2)+(1)/(n2)•(n−1)＝(n−1)/(n)．
（Ⅱ） Cov（Y₁，Y_n）=E[（Y₁-EY₁）（Y_n-EY_n）]
=E(Y1Yn)＝E[(X1−

.

X

)(Xn−

.

X

)]
=E(X1Xn−X1

.

X

−Xn

.

X

+

.

X

2)
=E(X1Xn)−2E(X1

.

X

)+E

.

X

2
=0−(2)/(n)E[

X

2 1

+

n

j＝2

X1Xj]+D

.

X

+(E

.

X

)2
=−(2)/(n)+(1)/(n)＝−(1)/(n)．