哈夫曼树的带权路径长度是什么?

Question

哈夫曼树的带权路径长度是什么?

Answer 1

1．树的路径长度
　树的路径长度是从树根到树中每一结点的路径长度之和.在结点数目相同的二叉树中,完全二叉树的路径长度最短.
2．树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree,简记为WPL)
　　结点的权：在一些应用中,赋予树中结点的一个有某种意义的实数.
　　结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积.
　　树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree)：定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和,通常记为：
其中：
n表示叶子结点的数目
wi和li分别表示叶结点ki的权值和根到结点ki之间的路径长度.
树的带权路径长度亦称为树的代价.
3．最优二叉树或哈夫曼树
　在权为wl,w2,…,wn的n个叶子所构成的所有二叉树中,带权路径长度最小(即代价最小)的二叉树称为最优二叉树或哈夫曼树.
【例】给定4个叶子结点a,b,c和d,分别带权7,5,2和4.构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵),它们的带权路径长度分别为：
(a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
(b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46
(c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35
　　其中(c)树的WPL最小,可以验证,它就是哈夫曼树.
注意：
① 叶子上的权值均相同时,完全二叉树一定是最优二叉树,否则完全二叉树不一定是最优二叉树.
② 最优二叉树中,权越大的叶子离根越近.
③ 最优二叉树的形态不唯一,WPL最小