（a+b+c)^6的展开式中(abc)^2项的系数?求(a^2+ab+b^2/4)^4的展开式中a＾5的系数

Question

（a+b+c)^6的展开式中(abc)^2项的系数?求(a^2+ab+b^2/4)^4的展开式中a＾5的系数

Answer 1

我觉得,有些展开式虽然麻烦,但也是需要熟悉的.比如
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca
(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3a^2(b+c)+3b^2(a+c)+3c^2(a+b)+6abc
(a+b+c)^6 = (a+b+c)^3(a+b+c)^3
通过对 (a+b+c)^3 展开式的观察,可以预见
1) 6abc * 6abc = 36*（abc)^2
2) 3a^2b * 3c^2b = 9*(abc)^2
3) 3a^2c * 3b^2c = 9*(abc)^2
4) 3b^2a * 3c^2a = 9*(abc)^2
余此类推,最终共有6个 9*(abc)^2
因此 abc)^2 的系数是 36 + 6*9 = 90
(a^2+ab+b^2/4)^4
= (a+ b/2)^8
首先楼主应该掌握 (x+y)^n 的展开式.也就是说,你在做这个题目之前,你已经知道了 (x+y)^n 如何展开.
(x+y)^n = C(n,0)*x^n + C(n,1)*x^(n-1)*y + C(n,2)*x^(n-2)*y^2 + …… + C(n,k)*x^(n-k)*y^k + …… + C(n,n)*y^n
其中系数的通项 C(n,k) = n!/[(n-k)!*k!]
符号 !代表 “阶乘”运算.
例如 C(7,3) = 7!/(4!*3!) = (7*6*5*4*3*2*1)/[(4*3*2*1)*(3*2*1)] = 7*6*5/(3*2*1)
有了以上的知识基础,那么对于 (a+b/2)^8 的展开式,可以知道 含a^5项为：
C(8,3)*a^5*(b/2)^3
其系数为
C(8,3)/2^3 = [8*7*6/(3*2*1)]/8 = 7