如图，点E为正方形ABCD中AD边上的一个动点，AB=16，以BE为边画正方形BEFG，边EF与边CD交于点H．（1）当E为边AD的中点时，求DH的长；（2）当tan∠ABE=34时，连接CF，求CF的长；（3）连接CE，求△CE

Question

如图，点E为正方形ABCD中AD边上的一个动点，AB=16，以BE为边画正方形BEFG，边EF与边CD交于点H．

（1）当E为边AD的中点时，求DH的长；
（2）当tan∠ABE=(3)/(4)时，连接CF，求CF的长；
（3）连接CE，求△CEF面积的最小值．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD和四边形BGFE是正方形，
∴∠D=∠A=∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEH=∠DEH+∠DHE=90°，
∴∠AEB=∠DHE，
∴△EDH∽△BAE，
∴(DH)/(AE)=(DE)/(AB)，
∵E为边AD的中点，
∴DE=AE=8，
∴(DH)/(8)=(8)/(16)，
∴DH=4；

（2）过F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于M，连接CF，
∵tan∠ABE=(3)/(4)，AB=16，
∴AE=12，
∴DE=4，
∵∠MEF+∠AEB=∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠MEF=∠ABE，
∴tan∠MEF=(3)/(4)，
∴ME=16，FM=12，
∴DM=12，
∴DM=MF，
∴四边形DGFM是正方形，
∴FG=12，HG=9，
∴CG=4，
∴FC=√(FG2+CG2)=4√(10)；

（3）∵S_△CEF=S_△CHF+S_△CHE=(1)/(2)CH•EM，
∵△EMF≌△BAE，
∴EM=AB=16，
∴S_△CEF=8CH，
∵△EDH∽△BAE，
∴(DE)/(AB)=(DH)/(AE)，
设AE为x，则DH=(1)/(16)（-x²+16x）=-(1)/(16)（x-8）²+4≤4，
∴DH≤4，
∴CH≥12，CH最小值是12，
∴△CEF面积的最小值是96．