如图，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切．（1）在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；（2）当圆的直径等于正方形的边

Question

如图，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切．

（1）在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；
（2）当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由．

Answer 1

（1）圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如下：

（2）圆的直径等于正方形的边长一半时，覆盖区域的面积不是最大，理由如下：
设正方形的边长为a，圆的半径为r，覆盖区域的面积为s．
∵圆在正方形的内部，
∴0＜r≤(a)/(2)，
由图可知：S=a²-[（a-4r）²+4r²-πr²]，
=-（20-π）r²+8ar，
=-（20-π）（r-(4a)/(20−π)）²+(16a2)/(20−π)，
∵0＜(4a)/(20−π)＜(a)/(4)，
∴当r=(4a)/(20−π)时，S有最大值，
∵(4a)/(20−π)≠(a)/(4)，
∴圆的直径等于正方形的边长一半时，面积不是最大．