先阅读下列材料,材料：因式分解：（x+y）^2+2（x+y）+1.将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式等=A^2+2A+1=（A+1）^2.再将“A”还原,得原式=（x+y+1）^2.上述解题中用到的是“整体思想”.整体思想是数学

Question

先阅读下列材料,材料：因式分解：（x+y）^2+2（x+y）+1.将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式等=A^2+2A+1=（A+1）^2.再将“A”还原,得原式=（x+y+1）^2.上述解题中用到的是“整体思想”.整体思想是数学解题中常用的一种思想,（1）因式分解：（a+b）（a+b减4）+4； （2）证明：若n为正整数,则式子n（n+1）（n+2）·（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方.

Answer 1

（1）
（a+b）（a+b-4）+4
令a+b=A
原式
=A(A-4)+4
=A^2-4A+4
=(A-2)^2
=(a+b-2)^2
(2)证明：
原式=
[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 …… 令n^2+3n=A
=A(A+2)+1
=(A+1)^2
n为正整数时,A,A+1均为正整数.
所以原式一定是整数的平方.