证明:在同构的意义下,四阶群只有两个,一个是循环群另一个是Klein四元群

Question

证明:在同构的意义下,四阶群只有两个,一个是循环群另一个是Klein四元群

Answer 1

如果是循环群,显然是Z4.（或C4）
如果不是循环,那么所有非单位元的元素阶为2或4(拉格朗姆).设a为其中一个非单位元.如果a为4阶,则a,a2,a3都存在则回到第一种情况循环群,因此现在设没有四阶的元素.则存在a不等于b,都为2阶.
因此G={e,a,b,ab}因为a和b都为2阶,a-1和b-1都是他们本身,因此这个假设是合理,因为ab必须要在这个群的内部（封闭性）.
而ba也要在里面,因此ba肯定等于里面三个的其中一个.
如果ba=a,则b=e.如果ba=b,则a=e.都矛盾.如果ba=e,则a=b-1=b.矛盾.
因此ab=ba,同构于Klein