从1,2,3到2013中,至少取多少个数字,才能使取出的数中至少有两个数,其中一个数能被另一个数整除

Question

从1,2,3到2013中,至少取多少个数字,才能使取出的数中至少有两个数,其中一个数能被另一个数整除

Answer 1

（1）
假若取1007、1008、1009、1010、……、2013共1007个数.
显然,没有任何一个数能被另一个数整除.
也就是说,取1007个数不能保证.
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（2）
下面证明,若取到1008个数,一定满足.
将所有1~2013个数分为1007组
【1】{1、2、4、8、16、……、1024}
【2】{3、6、12、24、……、1536}
【3】{5、10、20、40、……、1280}
【4】{7、14、28、56、……1792}
【5】{9、18、36、72、……1152}
……
【503】{1005、2010}
【504】{1007}
【505】{1009}
【506】{1011}
【507】{1013}
……
【1006】{2011}
【1007】{2013}
注意到,每个集合中包含一个奇数与它不断乘以2之后的数（结果小于2013）.
这样的话,所有2013个数就完全分配到这305组中了.
为什么一定可以这么分呢?
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试想一个数分解因数时不断地除以2,最终会得到一个奇数,那么它就进入含有这个奇数的集合.
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并且可以看出,每个集合内的数之间都是整除关系.
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由抽屉原理,
共1007个抽屉,若取1008个数,那么至少有2个数在同一个{}内,
那么这两个数满足整除关系.
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