若方程2sin2x+sinx-m-2=0在[0，2π）上有且只有两解，则实数m的取值范围是．

Question

若方程2sin²x+sinx-m-2=0在[0，2π）上有且只有两解，则实数m的取值范围是___．

Answer 1

由于方程2sin²x+sinx-m-2=0在[0，2π）上有且只有两解，
故函数y=2sin²x+sinx的图象和直线y=m+2在[0，2π）上有且只有两个交点．
由于sinx在（-1，1）上任意取一个值，在[0，2π）上都有2个x值和它对应，
故令t=sinx∈[-1，1]，则函数y=2t²+t的图象和直线直线y=m+2在（-1，1）上有且只有一个交点，
如图所示：∵当t=-(1)/(4)时，y=-(1)/(8)，
故 1<m+2<3或m+2=-(1)/(8)，求得-1<m<1或m=-(17)/(8)，
故答案为：（-1，1）∪{-(17)/(8)}．