已知动圆过定点F（1，0），且与直线l：x=-1相切（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=-1时

Question

已知动圆过定点F（1，0），且与直线l：x=-1相切
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k₁，k₂，当k₁，k₂变化且满足k₁+k₂=-1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

（1）设圆心P（x，y），则由题意得√((x−1)2+y2)＝|x−(−1)|，
化简得y²=4x，即动圆圆心的轨迹C的方程为y²=4x；
（2）由题意可知直线AB的斜率存在且不为零，可设AB的方程为x=my+a，
并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立：

y2＝4x

x＝my+a

，
代入整理得y²-4my-4a=0，
从而有y₁+y₂=4m  ①，
y₁y₂=-4a  ②，
又k₁+k₂=-1，即(y1−2)/(x1−2)+(y2−2)/(x2−2)＝−1，

y

2 1

＝4x1，

y

2 2

＝4x2，
∴(y1−2)/((y12)/(4)−1)+(y2−2)/((y22)/(4)−1)＝−1．
∴(4)/(y1+2)+(4)/(y2+2)＝−1，则-（y₁+2）（y₂+2）=4（y₁+y₂+4），
展开即得y₁y₂+6（y₁+y₂）+20=0，
将①②代入得a=6m+5，
得AB：x=my+6m+5．
故直线AB经过（5，-6）这个定点．