是否存在一个三边长恰是一个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形ABC请证明你的结论

Question

是否存在一个三边长恰是一个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形ABC
请证明你的结论

Answer 1

设:三边分别是n-1、n、n+1,最大角是2x,最小角是x
根据余弦定理
cosx=(n^2+2n+1+n^2-n^2+2n-1)/[2n(n+1)] =(n+4)/(2n+2)
cos2x=(n^2+n^2-2n+1-n^2-2n-1)/[2n(n-1)] =(n-4)/(2n-2)
因为 cos2x=2(cosx)^2-1
所以 (n-4)/(2n-2)=2[(n+4)/(2n+2)]^2-1
整理得：2n^3-7n^2-17n+10=0 解得：n=1/2(舍去),n=-2(舍去),n=5
所以三边是4、5、6时成立