为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水

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为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．
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（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？
（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．

▼优质解答

答案和解析

（1）建立如图的坐标系，
设抛物线的方程为x²=2py（p>0）．
由已知点P（2，2）在抛物线上，得p=1，
∴抛物线的方程为x²=2y，
设A（t，

t²），则此时梯形APQB面积为S（t）=

（2t+4）（2-

t²），
∴S′（t）=-

t2-2t+2=0，t=

，
t∈（0，

），S′（t）>0，t∈（

，2），S′（t）<0
∴t=

，S_max（t）=

128

，
∴新水渠底宽为

m时，所填土的土方量最少；
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，
如图，

设切点M（t，

t²），t>0．
则函数在点M的切线方程为y-

t²=t（x-t），
令y=0，y=2，得A（

t，0），B（

，2），
∴此时梯形OABC的面积为S（t）=

（t+

）•2=t+

≥2

，
当且仅当t=

时，等号成立，
此时|OA|=

，
∴设计改挖后的水渠的底宽为