为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水

Question

为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．

（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？
（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．

Answer 1

（1）建立如图的坐标系，
设抛物线的方程为x²=2py（p>0）．
由已知点P（2，2）在抛物线上，得p=1，
∴抛物线的方程为x²=2y，
设A（t，(1)/(2)t²），则此时梯形APQB面积为S（t）=(1)/(2)（2t+4）（2-(1)/(2)t²），
∴S′（t）=-(3)/(2)t2-2t+2=0，t=(2)/(3)，
t∈（0，(2)/(3)），S′（t）>0，t∈（(2)/(3)，2），S′（t）<0
∴t=(2)/(3)，S_max（t）=(128)/(27)，
∴新水渠底宽为(4)/(3)m时，所填土的土方量最少；
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，
如图，

设切点M（t，(1)/(2)t²），t>0．
则函数在点M的切线方程为y-(1)/(2)t²=t（x-t），
令y=0，y=2，得A（(1)/(2)t，0），B（(t)/(2)+(2)/(t)，2），
∴此时梯形OABC的面积为S（t）=(1)/(2)（t+(2)/(t)）•2=t+(2)/(t)≥2√(2)，
当且仅当t=√(2)时，等号成立，
此时|OA|=(√(2))/(2)，
∴设计改挖后的水渠的底宽为

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