动手实验：利用矩形纸片（图1）剪出一个正六边形纸片；利用这个正六边形纸片做一个如图（2）无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形）；（1）做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片

Question

动手实验：利用矩形纸片（图1）剪出一个正六边形纸片；利用这个正六边形纸片做一个如图（2）无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形）；
（1）做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少？
（2）在（1）的前提下，当矩形的长为2a时，要使无盖正六棱柱侧面积最大，正六棱柱的高为多少？并求此时矩形纸片的利用率？（矩形纸片的利用率=(( ))/(( ))无盖正六棱柱的表面积/矩形纸片的面积）

Answer 1

（1）如图所示：

由于正六边形内角和为（6-2）×180°=720°，则其一角的角平分线所分的两个角同为60°；
 设所需矩形的长宽分别为A、B，剪出的正六边形半径长为L，那么
A=2L，B=2L•sin60°=√(3)L；
因此，所求长宽比为A：B=（2L）：（√(3)L）=2：√(3)．
做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为：2：√(3)；

（2）∵矩形的长为2a，
∴正六边形边长为a，其面积为：
设高为x，S=−4√(3)x2+6ax，
当x=(√(3))/(4)a时，S=(3√(3))/(4)a2，
此时，底面积=(3√(3))/(8)a2，
(3√(3))/(4)a2+(3√(3))/(8)a2=(9√(3))/(8)a2，
利用率=(9)/(16)．