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一副直角三角板由一块含30°的直角三角板与一块等腰直角三角板组成，且含30°角的三角板的较长直角边与另一三角板的斜边相等（如图1）（1）如图1，这副三角板中，已知AB=2，AC=2323，A′D=

题目详情
一副直角三角板由一块含30°的直角三角板与一块等腰直角三角板组成，且含30°角的三角板的较长直角边与另一三角板的斜边相等（如图1）

（1）如图1，这副三角板中，已知AB=2，AC=
2
3
2
3
，A′D=
6
6

（2）这副三角板如图1放置，将△A′DC′固定不动，将△ABC通过旋转或者平移变换可使△ABC的斜边BC经过△A′DC′′的直角顶点D．
方法一：如图2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°）
方法二：如图3，将△ABC沿射线A′C′方向平移m个单位长度
方法三：如图4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度β（0°＜β＜180°）
请你解决下列问题：
①根据方法一，直接写出α的值为：______；
②根据方法二，计算m的值；
③根据方法三，求β的值．
（3）若将△ABC从图1位置开始沿射线A′C′平移，设AA′=x，两三角形重叠部分的面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

2
3
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′′







▼优质解答
答案和解析
（1）∵直角△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=2AB=4．
∴AC=
BC2-AB2
=2
3
．
在等腰直角直角△A′DC′中，A′C′=2
3
，
∴A′D=
2
2
A′C′=
6
．

（2）①α=45°-30°=15°；
②作DH⊥A′C于H，则DH=
1
2
A′C′=C′H=
3
．
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴
DH
AB
=
CH
AC
，即
3
2
=
CH
2
3
，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
作业帮用户 2017-10-18 举报
问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
3
＜x≤
3
，
3
＜x≤2
3
，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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BC2-AB2
BC2-AB2
BC2-AB2BC2-AB22-AB22=2
3
．
在等腰直角直角△A′DC′中，A′C′=2
3
，
∴A′D=
2
2
A′C′=
6
．

（2）①α=45°-30°=15°；
②作DH⊥A′C于H，则DH=
1
2
A′C′=C′H=
3
．
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴
DH
AB
=
CH
AC
，即
3
2
=
CH
2
3
，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
作业帮用户 2017-10-18 举报
问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
3
＜x≤
3
，
3
＜x≤2
3
，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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3
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33．
在等腰直角直角△A′DC′中，A′C′=2
3
，
∴A′D=
2
2
A′C′=
6
．

（2）①α=45°-30°=15°；
②作DH⊥A′C于H，则DH=
1
2
A′C′=C′H=
3
．
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴
DH
AB
=
CH
AC
，即
3
2
=
CH
2
3
，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
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问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
3
＜x≤
3
，
3
＜x≤2
3
，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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3
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33，
∴A′D=
2
2
A′C′=
6
．

（2）①α=45°-30°=15°；
②作DH⊥A′C于H，则DH=
1
2
A′C′=C′H=
3
．
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴
DH
AB
=
CH
AC
，即
3
2
=
CH
2
3
，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
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问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
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＜x≤
3
，
3
＜x≤2
3
，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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2
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22222A′C′=
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（2）①α=45°-30°=15°；
②作DH⊥A′C于H，则DH=
1
2
A′C′=C′H=
3
．
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴
DH
AB
=
CH
AC
，即
3
2
=
CH
2
3
，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
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问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
3
＜x≤
3
，
3
＜x≤2
3
，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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66．

（2）①α=45°-30°=15°；
②作DH⊥A′C于H，则DH=
1
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A′C′=C′H=
3
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∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴
DH
AB
=
CH
AC
，即
3
2
=
CH
2
3
，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
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问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
3
＜x≤
3
，
3
＜x≤2
3
，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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111222A′C′=C′H=
3
．
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴
DH
AB
=
CH
AC
，即
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2
=
CH
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，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
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问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
3
＜x≤
3
，
3
＜x≤2
3
，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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3
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33．
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA．
∴
DH
AB
=
CH
AC
，即
3
2
=
CH
2
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，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
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问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
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，3-
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＜x≤
3
，
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＜x≤2
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，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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DH
AB
DHDHDHABABAB=
CH
AC
，即
3
2
=
CH
2
3
，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
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问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
3
＜x≤
3
，
3
＜x≤2
3
，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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CH
AC
CHCHCHACACAC，即
3
2
=
CH
2
3
，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
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问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
3
＜x≤
3
，
3
＜x≤2
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，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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3
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33222=
CH
2
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∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
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问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
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，3-
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＜x≤
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＜x≤2
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，x＞2
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四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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CH
2
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CHCHCH2
3
2
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33，
∴CH=3．
∴CC′=CH-C′H=3-
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（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
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＜x≤
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＜x≤2
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，x＞2
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四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
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＜x≤
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＜x≤2
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，x＞2
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四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
3
＜x≤
3
，
3
＜x≤2
3
，x＞2
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四种情况即可求解．
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本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
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＜x≤
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，
3
＜x≤2
3
，x＞2
3
四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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作业帮用户 2017-10-18 举报
作业帮用户作业帮用户 2017-10-182017-10-18 举报 举报
问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
3
，3-
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＜x≤
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，
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＜x≤2
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，x＞2
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四种情况即可求解．
问题解析
问题解析
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
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，3-
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＜x≤
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＜x≤2
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，x＞2
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四种情况即可求解．
（1）根据直角三角形中30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）①根据三角板的度数即可求解；
②作DH⊥A′C于H，易证△CDH∽△CBA，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CH的长，进而求得CC′；
③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以证得Rt△AGD≌Rt△DHA，则BC∥AC′，利用平行线的性质即可求解；
（3）分0＜x≤3-
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四种情况即可求解．
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33，3-
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四种情况即可求解．
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四种情况即可求解．
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四种情况即可求解．
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四种情况即可求解．
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四种情况即可求解．
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33四种情况即可求解．
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
名师点评
名师点评
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
本题考点：
本题考点：
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
旋转的性质；分段函数；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
考点点评：
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应相等相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．
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