（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向

Question

（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．

Answer 1

（1）设CD的长为x米，则tanα=(x)/(35)，tanβ=(x)/(80)，
∵0≤2β≤α＜(π)/(2)，
∴tanα≥tan2β，
∴tanα≥(2tanβ)/(1−tan2β)，
即(x)/(35)≥(2•(x)/(80))/(1−(x2)/(6400))=(160x)/(6400−x2)，
解得0＜x≤20√(2)≈28.28，
即CD的长至多为28.28米．
（2）设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°-α-β=123.43°，
由正弦定理得(a)/(sinα)＝(AB)/(sin∠ADB)，
即a=(115sin38.12°)/(sin123.43°)≈85.06，
∴m=√(802+a2−160acos18.45°)≈26.93，
答：CD的长为26.93米．