图中M1和M2是绝热气缸中的两个活塞，用轻质刚性细杆连结，活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的，M1是导热的，M2是绝热的，且M2的横截面积是M1的2倍．M1把一定质量的气体封闭在气缸的L

Question

图中M₁和M₂是绝热气缸中的两个活塞，用轻质刚性细杆连结，活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的，M₁是导热的，M₂是绝热的，且M₂的横截面积是M₁的2倍．M₁把一定质量的气体封闭在气缸的L₁部分，M₁和M₂把一定质量的气体封闭在气缸的L₂部分，M₂的右侧为大气，大气的压强P₀是恒定的．K是加热L₂中气体用的电热丝．初始时，两个活塞和气体都处在平衡状态，分别以V₁₀和V₂₀表示L₁和L₂中气体的体积．现通过K对气体缓慢加热一段时间后停止加热，让气体重新达到平衡态，这时，活塞未被气缸壁挡住．加热后与加热前比，L₁和L₂中气体的压强是增大了、减小了还是未变？要求进行定量论证．

Answer 1

用n₁和n₂分别表示L₁和L₂中气体的摩尔数，P₁、P₂和 V₁、V₂分别表示L₁和L₂中气体处在平衡态时的压强和体积，T表示气体的温度（因为 M₁是导热的，两部分气体的温度相等），由理想气体状态方程得：
p₁V₁=n₁RT…①
P₂V₂=n₂RT…②
式中R为普适气体常量．若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象，处在平衡状态时有：
p₁S₁-p₂S₁+p₂S₂-p₀S₂=0…③
已知：S₂=2S₁…④，
由③④解得：p₁+p₂=2p₀…⑤，
由①②⑤解得：p₁=(2(n1)/(n2)p0V2)/(V1+(n1)/(n2)V2)…⑥
若⑥式中的V₁、V₂是加热后L₁和L₂中气体的体积，则p₁就是加热后L₁中气体的压强．
加热前L₁中气体的压强则为：p₁₀=(2(n1)/(n2)p0V20)/(V10+(n1)/(n2)V20)…⑦
设加热后，L₁中气体体积的增加量为△V₁，L₂中气体体积的增加量为△V₂，
因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M₂的横截面积是M₁的2倍，故有：△V₁=△V₂=△V…⑧，
加热后，L₁和L₂中气体的体积都是增大的，即△V＞0．
（若△V＜0，即加热后，活塞是向左移动的，则大气将对封闭在气缸中的气体做功，电热丝又对气体加热，根据热力学第一定律，气体的内能增加，温度将上升，而体积是减小的，故L₁和L₂中气体的压强p₁和p₂都将增大，这违反力学平衡条件⑤式）
于是有 V₁=V₁₀+△V…⑨
V₂=V₂₀+△V…⑩
由⑥⑦⑨⑩解得：p₁-p₁₀=(2(n1)/(n2)p0(V10−V20)△V)/([V10+△V+(n1)/(n2)(V20+△V)](V10+(n1)/(n2)V20))…⑪
由⑪式可知，若加热前V₁₀=V₂₀，则p₁=p₁₀，即加热后p₁不变，由⑤式知p₂亦不变；若加热前 V₁₀＜V₂₀，则p₁＜p₁₀，即加热后P₁必减小，由⑤式知P₂必增大；若加热前 V₁₀＞V₂₀，则p₁＞p₁₀，即加热后p₁必增大，由⑤式知p₂必减小．
答：若加热前V₁₀=V₂₀，则p₁=p₁₀，即加热后p₁不变，p₂不变；
若加热前 V₁₀＜V₂₀，则p₁＜p₁₀，即加热后P₁必减小，P₂必增大；
若加热前 V₁₀＞V₂₀，则p₁＞p₁₀，即加热后p₁必增大，p₂必减小．