有四个互不相等的正整数,从任取两个数组成一组,并在同一组中用较大的数减去较小的数,再将各组所得的差相加,其和恰好等于18.若这4个数的乘积是23100,求这4个数

Question

有四个互不相等的正整数,从任取两个数组成一组,并在同一组中用较大的数减去较小的数,再将各组所得的差相加,其和恰好等于18.若这4个数的乘积是23100,求这4个数

Answer 1

设这四个数分别是a、b、c、d,不妨设a＞b＞c＞d,则有：
(a－b)＋(a－c)＋(a－d)＋(b－c)＋(b－d)＋(c－d)＝18
(a－b)＋[(a－b)＋(b－c)]＋[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]＋(b－c)＋[(b－c)＋(c－d)]＋(c－d)＝18
3(a－b)＋4(b－c)＋3(c－d)＝18
∴4(b－c)＝18－[3(a－b)＋3(c－d)]＜18
右边是3的倍数,故左边也是3的倍数,由于四个数互不相等,因此(a－b)、(b－c)、(c－d)的值不可能为零,而4(b－c)又是3的倍数,故b－c＝3
∴(a－b)＋(c－d)＝2
由上述讨论知a－b＝c－d＝1
∴c＝d＋1,b＝d＋4,a＝d＋5
又23100＝2^2×3×5^2×7×11
若a＜15,则b＜14,c＜11,d＜10,因而abcd＜15×14×11×10＝23100不合题意；
若a＝15,则b＝14,c＝11,d＝10,符合题意；
若a＞15,则b＞14,c＞11,d＞10,因而abcd＞15×14×11×10＝23100不合题意.
故所求四个数为15、14、11、10