已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求的值.

Question

已知在 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求 的值.

Answer 1

已知在 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求 的值.

（1）T1=x5和T7=13400  ,（2） ,（3） .

试题分析：（1）求二项展开式中特定项，关键在从通项出发，找寻对应等量关系. 由 解得n=10,因为通项： ,当5﹣ 为整数，r可取0，6,于是有理项为T1=x5和T7=13400,（2）求展开式中系数绝对值最大的项，通过列不等式解决. 设第r+1项系数绝对值最大，则 ,解得 ，于是r只能为7,所以系数绝对值最大的项为 ,（3）本题是二项式定理的逆向应用,关键将式子转化符合二项展开式的特征.

（1）由 解得n=10     （2分）
因为通项：          （3分）
当5﹣ 为整数，r可取0，6                        （4分）
展开式是常数项，于是有理项为T1=x5和T7=13400              （6分）
（2）设第r+1项系数绝对值最大，则      （8分）
注：等号不写扣（1分）
解得 ，于是r只能为7                              （10分）
所以系数绝对值最大的项为        （11分）
（3）

                     13分
     .16分