地面上ab两点相距100m,一短跑选手从a跑到b历时10s,试问在与运动员同方向运动,飞行速度为0.8c的飞船S'系中观测,该选手由a到b跑了多少距离?历经多长时间?速度的大小和方向?

Question

地面上ab两点相距100m,一短跑选手从a跑到b历时10s,试问在与运动员同方向运动,飞行速度为0.8c的飞船S'系中观测,该选手由a到b跑了多少距离?历经多长时间?速度的大小和方向?

Answer 1

由于事件是异地不同时事件,故不能直接套用钟慢尺缩公式,要用洛伦兹变换求解.
取起点a为地面S系和飞船S’系共同时空原点,简记为(x0,t0)=(x0’,t0’)=(0,0),飞船运动方向为x-x’轴正向,大小为v=0.8c=2.4×10^8m/s.运动员到达终点b事件在地面S系中的时空坐标为(x,t)=(100,10),根据洛伦兹变换,在飞船S’系中的时空坐标为
x’=(x-vt)/√(1-v²/c²)=(100-2.4×10^8×10)/√(1-0.8²)=500/3-4×10^9≈-3.999999833×10^9(m)
t’=(t-vx/c²)/√(1-v²/c²)=(10-0.8×100/3×10^8)/√(1-0.8²)≈16.6667(s)
u’=(x’-x0’)/(t’-t0’)=x’/t’=(100-2.4×10^8×10)/(10-0.8×100/3×10^8)≈-2.39999996×10^8(m/s)
负号表明运动员的运动相对飞船S’系是沿x’轴负方向的,这是由于飞船的速度大于运动员的速度.
故飞船S'系中观测,该选手由a到b跑了约距离-3.999999833×10^9m,历经约16.6667s时间,速度的大小约2.39999996×10^8m/s,方向沿x’轴负方向.