（2011•卢湾区一模）如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在

Question

（2011•卢湾区一模）如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是

TN

上一点．设∠TAP=θ，长方形PQCR的面积为S平方米．
（1）求S关于θ的函数解析式；
（2）设sinθ+cosθ=t，求S关于t的表达式以及S的最大值．

Answer 1

（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得EP=6cosθ，FP=6sinθ，
∴PR=7-6sinθ，PQ=7-6cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（7-6sinθ）（7-6cosθ）=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ
故S关于θ的函数解析式为S=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ(0≤θ≤(π)/(2))．（6分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
即sinθcosθ＝(t2−1)/(2)，
∴S=49-42t+18（t²-1）=18t²-42t+31．　（9分）
又由0≤θ≤(π)/(2)，可得(π)/(4)≤θ+(π)/(4)≤(3π)/(4)，
故t＝sinθ+cosθ＝√(2)sin(θ+(π)/(4))∈[1，√(2)]，
∴S关于t的表达式为S=18t²-42t+31（t∈[1，√(2)]）．（11分）
又由S＝18(t−(7)/(6))2+(13)/(2)，t∈[1，√(2)]
可知当t＝√(2)时，S取最大值，
故S的最大值为67−42

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