什么是数学的形式化?高中课标提到的基本理念,应该如何理解

Question

什么是数学的形式化?
高中课标提到的基本理念,应该如何理解

Answer 1

《普通高中数学课程标准》指出：“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求,但是不能只限于形式化的表述,要强调对数学本质的认识,否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.数学的现代发展也表明,全盘形式化是不可能的.因此,高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质.”
所谓“数学形式”,就是用特定的数学语言,包括数学的符号语言、图象语言和文字语言,表达自然现象和社会现象的空间结构和数量关系,即具有相对固定样式的数学概念、法则、结论,它具有如下特征：
（1）稳定性.数学概念、法则、结论等内容一旦成为“形式”,就有相对稳定的特征,决不会因环境、条件的变更而发生变化.
（2）概括性.数学形式是无数具体事物经抽象概括的结果,应该是研究数量关系或图形本质属性的反应.
（3）简洁性.最简单的往往是最深刻的,越简洁的东西就越具有生命力,越具使用价值.数学形式就以其表述方式的简洁而称道.
（4）广泛性.数学形式的概括性决定了它具有广泛性,可真正达到华罗庚教授所说的“数学是一个原则,无数内容,一个方法,到处有用.”
（5）可操作性.按照相关数学形式进行的程式化操作可称为行为模式.人的行为模式有两种,一种是需要智力投入、思维参与的行为模式；一种是较少需要智力投入、思维参与的行为模式.在数学学习和解决数学问题的所有活动中,创造性思维的含量只占少部分,运用更多的是程式化的操作.这种操作讲究的是熟练、准确、快速、高效.学生大多数解题是按既定法则进行模式化操作.即使是难度较大的需要一定的创造思维,但创造的“根”仍然扎在坚实的基本数学形式的土壤中.基本数学形式是创造的源泉与原型.当然,即便进行的是简单化、机械化、程序化的操作,也要在其中努力加大智力与思维的含量.
形式化有着不可否认的弊端：
（1）形式化可能掩盖事物的本质,学生只会机械操作.
（2）形式化会轻视过程,只知结论,不知来龙去脉.
（3）形式化不利于学生对基础知识和基本能力的记忆及养成,教学中容易出现“开门见山,直达结论”的现象.
（4）形式化会使学生产生思维惰性.
对概念、定理、法则和解题技法等若都能达到本质的理解固然很好,但毕竟有些内容要求学生在形式化的基础上形成机械记忆,并能投入操作应用即可.问题的关键是,哪些内容应保留形式,哪些内容需要否定形式,哪些内容需要形式和本质的和谐共处,这些不能靠主观臆断,而要靠我们老师在吃透新课程标准和新教材的基础上科学合理地来确定.一般来讲,数学教学之初,应该充分展示数学知识发生发展的过程,引导学生弄清本质,在熟练的基础上适度形式化,形成自己的技能,这样的知识学得牢固一些,对于大面积提高数学成绩也有帮助.再说行为模式,包括某些解题方法,必须引领学生在解题实践的过程中总结有典型意义的重要形式,且注意思维的参与,使这些行为模式的操作更有效.