5只杯子全部杯口朝下,每次翻动其中的4只杯子,能否用这种方法将5只杯子翻过来,使得杯口全部朝上?

Question

5只杯子全部杯口朝下,每次翻动其中的4只杯子,能否用这种方法将5只杯子翻过来,使得杯口全部朝上?

Answer 1

为了叙述方便,我们先作如下规定：一只杯口朝上的杯子记1分,一只杯口朝下的杯子记0分.
翻动4只杯子,共有如下五种情况：
⑴将4只杯口朝下的杯子变成4只杯口朝上的杯子；
⑵将3只杯口朝下的杯子和1只杯口朝上的杯子变成3只杯口朝上的杯子和1只杯口朝下的杯子；
⑶将2只杯口朝下的杯子和2只杯口朝上的杯子变成2只杯口朝上的杯子和2只杯口朝下的杯子；
⑷将1只杯口朝下的杯子和3只杯口朝上的杯子变成1只杯口朝上的杯子和3只杯口朝下的杯子；
⑸将4只杯口朝上的杯子变成4只杯口朝下的杯子；
在上述5种情况里,杯子积分的变化分别是：增加4分、增加2分、分数不变、减少2分、减少4分.杯子积分的变化特点：全是偶数.
我们注意到,初始情况是：5只杯子全部杯口朝下,积分是0分.而我们希望看到的结果是,5只杯子全部杯口朝上,积分是5分.
由于0是一个偶数,而给偶数加上一个偶数或减去一个偶数,答案仍是偶数,绝不可能得到奇数5.
所以,用这种方法将5只杯子都翻过来,使得杯口全部朝上是不可能的.