如图所示，水平传送带的左端与一倾角θ=37°的粗糙斜面平滑连接，一个小滑块（可视为质点）从斜面上的A点由静止释放，沿斜面滑下并冲上传送带，传送带以恒定速率v=2m/s逆时针转动．已

Question

如图所示，水平传送带的左端与一倾角θ=37°的粗糙斜面平滑连接，一个小滑块（可视为质点）从斜面上的A点由静止释放，沿斜面滑下并冲上传送带，传送带以恒定速率v=2m/s逆时针转动．已知小滑块的质量m=2kg，斜面上A点到斜面底端的长度s=9m，传送带的长度为L=10m，小滑块与斜面的动摩擦因数μ₁=0.50，小滑块与传送带间动摩擦因数μ₂=0.40，g=10m/s²．求：

（1）小滑块到达斜面底端P的速度大小；
（2）a．判断冲上传送带的小滑块是否可以运动到传送带的右端Q；
b．若小滑块可以运动到Q，试求小滑块从P点运动到Q点的过程中摩擦力分别对小滑块和传送带做的功；若小滑块不能达到Q，试求小滑块从P点开始再次运动到P点过程中摩擦力分别对小滑块和传送带做的功；
（3）小滑块在斜面和传送带上运动的整个过程中，小滑块相对于地面的总路程．

Answer 1

（1）滑块下滑过程，由动能定理得：
mgssinθ-μ₁mgcosθ•s=(1)/(2)mv_P²-0，
代入数据解得：v_P=6m/s；
（2）a、滑块到达传送带上后做匀减速直线运动，在滑块速度减为零过程中，由动能定理得：
-μ₂mgs′=0-(1)/(2)mv_P²，
代入数据解得：s′=4.5m<L=10m，滑块不能到达Q端；
b、滑块在传送带上运动时的加速度为：a=(μ2mg)/(m)=μ₂g=4m/s²，
滑块向右减速运动的时间为：t₁=(vP)/(a)=(6)/(4)=1.5s，
在此时间内，传送带位移为：x₁=vt₁=2×1.5=3m，
滑块向右加速运动到速度等于传送带速度需要的时间为：t₂=(v)/(a)=(2)/(4)=0.5s，
在此时间内传送带的位移为：x₂=vt₂=2×0.5=1m，
在整个过程中，摩擦力对传送带做功为：W_传送带=-μ₂mg（x₁+x₂）=-32J，
由动能定理可知，整个过程摩擦力对滑块做功为：W_滑块=(1)/(2)mv²-(1)/(2)mv_P²=-32J；
（3）滑块在运动过程中要考查摩擦力做功，使其机械能减少，最终滑块将静止在P处，有：
μ₁cosθ=μ₂=μ=0.4，
设滑块在整个过程中相对水平地面的路程为s_总，对滑块由动能定理得：
mgssinθ=μmgs_总，
代入数据解得：s_总=13.5m；
答：（1）小滑块到达斜面底端P的速度大小为6m/s；
（2）a、小滑块不能运动到传送带的右端Q；
b、小滑块从P点开始再次运动到P点过程中摩擦力对小滑块做功为-32J，摩擦力对传送带做的功为-32J；
（3）小滑块在斜面和传送带上运动的整个过程中，小滑块相对于地面的总路程是13.5m．