如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=23．（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．

Question

如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2√(3)．

（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；
（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD．
又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，
所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延长AM、BO相交于E，
则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．
OB=MO=√(3)，MO∥AB，则(EO)/(EB)＝(MO)/(AB)＝(1)/(2)，EO＝OB＝√(3)，所以EB＝2√(3)＝AB，故∠AEB=45°．
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形．
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，
设为θ．
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°．
BF＝BC•sin60°＝√(3)．
tanθ＝(AB)/(BF)＝2 ， sinθ＝(2√(5))/(5)
所以，所求二面角的正弦值是(2√(5))/(5)．