剪绳问题核心公式一根绳连续对折N次,从中M刀,则被剪成了(2N×M+1)段例5将一根绳子连续对折三次,然后每隔一定长度剪一刀,共剪6刀.问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段?浙江2006-38

Question

剪绳问题核心公式
一根绳连续对折N 次,从中M 刀,则被剪成了(2N×M+1)段
【例5】将一根绳子连续对折三次,然后每隔一定长度剪一刀,共剪6刀.问这样操作后,原来的绳
子被剪成了几段?【浙江2006-38】
A.18段 B.49段 C.42段 D.52段
2^3*6+1=49
请问(2N×M+1)是如何推导出来的?

Answer 1

对折1次,成2根,其中有1个接头相连
对折2次,成4根,其中有4-1=3个接头相连
对折3次,成8根,其中有8-1=7个接头相连
..
对折n次,成为2^n根,其中有2^n-1个接头相连
中间剪m刀,如果是2^n根互不相连的绳子,能被剪成：
2^n*(m+1)段,现在因为有2^n-1个接头,就要减少2^n-1段,
一共是:
2^n(m+1)-（2^n-1)
=2^n*m+2^n-2^n+1
=2^n*m+1段