在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根．现将它们堆放在一起，(Ⅰ)若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地

Question

在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2 009根．现将它们堆放在一起，
(Ⅰ)若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
(Ⅱ)若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于7层，圆钢没有剩余．
(1)共有几种不同的方案？
(2)已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地（即最下层占用面积最少）?

Answer 1

(Ⅰ)当纵断面为正三角形时，设共堆放n层，
则从上到下每层圆钢根数是以1为首项，1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n根，
从而由 且n∈N*得，
当n=62 时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢。
(Ⅱ)(1)当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，
则从上到下每层圆钢根数是以x为首项，1为公差的等差数列，
从而nx+ n(n-1)=2009，
即n(2x+n-1)=2×2009=2×7×7×41，
因n-1与n的奇偶性不同，
所以2x+n-1与n的奇偶性也不同，且n＜2x+n-1，
从而由上述等式得：
或 或 或 ，
所以共有4种方案可供选择． 
(2)因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，
所以由(1)可知：
若n= 49，则x=17，说明最七层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为240 cm，显然大于4m，不合条件，舍去；

 若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400cm，上下底之长分别为280cm，680cm，从而梯形之高为200 cm，而200 +10＜400，所以符合条件；
综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地。