p也能被m整除吗?p和q互素,m是素数,且知p^2=m*q^2能否说p^2能被m整除则p也能被m整除如果可以怎么证明?（回答满意者追加100）

Answer 1

在"p和q互素,m是素数"的前提下,
以下等式不可能成立:
p^2=m*q^2以下记作pp=mqq
分析:
qq|(mqq),即qq|pp.即最大公约数gcd(qq,pp)=qq.以下记作(qq,pp)
而p,q互素,即gcd(p,q)=1,故gcd(qq,pp)=1
于是gcd(qq,pp)=qq=1
从而pp=m.(自然m|pp)
但是,这与m为素数矛盾.
其他所有的如果,都不用再谈.如果认为1为素数,这个提问又失去必要了.
当然,以下命题是有必要证明的:
m为素数,m|pp.求证:m|p.
反证:设m卜p,从而p的标准分解式中,素数m的指数为0.从而pp的标准分解式中,素数m的指数也为0,于是m卜pp.这与已知矛盾.