工厂生产某种设备其使用寿命X（单位：年）服从参数为14的指数分布，工厂规定：出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换，现今工厂售出40台该种设备．①试求一年内没有一台设备需要

Question

工厂生产某种设备其使用寿命X（单位：年）服从参数为(1)/(4)的指数分布，工厂规定：出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换，现今工厂售出40台该种设备．
①试求一年内没有一台设备需要调换的概率a；
②如果每售出一台设备工厂可获得利润100元，调换一台设备，工厂亏损200元，试求售出40台该种设备厂方获利的期望值．

Answer 1

①设第i台设备的使用寿命为X_i（i=1，2，…，40）（单位：年），则
f(xi)=

(1)/(4)e-(1)/(4)xi	amp;，xi>0
0	amp;，其它

∴第i台设备一年内没有损坏的概率为：
P（X_i>1）=1-P（X_i≤1）=1-

∫

1 0

f(x)dx=e-(1)/(4)
∴一年内没有一台设备需要调换的概率，即40台设备在一年内没有损坏的概率为
P（X₁>1）P（X₂>1）…P（X₄₀>1）=(e-(1)/(4))40=e-10
∴a=e^-10
②由题意，设Y_i表示第i台设备获得的利润，Y表示总利润，则由①，可得
EYi=100•e-(1)/(4)-200(1-e-(1)/(4))=300e-(1)/(4)-200
则售出40台该种设备厂方获利的期望值
EY=

40

i=1

EYi=40(300e-(1)/(4)-200)=4000(3e-(1)/(4)-2)