y'-ytanx=secx满足y(0)=0需要过程和结果最好弄个手写什么的拍下来

Question

y'-y tanx=secx 满足y(0)=0 需要过程和结果最好弄个手写什么的拍下来

Answer 1

解微分方程 y'-ytanx=secx
先求齐次方程y'-ytanx=0的通分离变量得dy/y=tanxdx；
积分之得lny=-lncosx+lnC₁=ln(C₁/cosx)；
故得y=C₁/cosx；作参数变易：将C₁换成x的函数u,得y=u/cosx.(1)；于是：
dy/dx=[(cosx)(du/dx)+usinx]/cos²x.(2)；将(1)和(2)代入原式得：
[(cosx)(du/dx)+usinx]/cos²x－(u/cosx）tanx=secx
即有[(cosx)(du/dx)+usinx]/cos²x－(usinx)/cos²x=secx
化简得 du/dx=secxcosx=1,故du=dx,∴u=x+C；代入(1)式,即得通解为y=(x+C)/cosx.