某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．

Question

某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°
（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）
（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．

Answer 1

（1）由CD=x，则BD=x-0.5，设BC=y，
则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，
在△BCD中，由余弦定理x²+y²-2xycos60°=（x-0.5）²，
化简得 y²-xy+x-0.25=0，即x=(y2−0.25)/(y−1)     ①…（4分）
记l=y+y+x-0.5+x=2y+2x-0.5=(4y2−2y−0.5)/(y−1)-0.5---------（6分）
（2）由题中条件得2y≥3，即y≥15，设y-1=t（t≥0.5）
则原式l=4t+(1.5)/(t)+5.5                …（10分）
∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+(1.5)/(t)≥2√(6)
有且仅当4t=(1.5)/(t)，即t=(√(6))/(4)时成立，
∴y=(√(6))/(4)+1，∴x=(3√(6)+8)/(4)，
∴当AB=(√(6))/(2)+2，CD=(8+3√(6))/(4)时，金属支架总长度最短． …（16分）