数学高手进在三角形ABC中,分别以ABAC为边向三角形ABC的外部作正方形ABDE和正方形ACFG,连接DF,过DF的中点M作MN垂直于BC于N.(1)点N是BC中点,你能说说其中的道理吗?(2)试探索线段MN与BC的数量关系怎

Question

数学高手进在三角形ABC中,分别以AB AC为边向三角形ABC的外部作正方形ABDE和正方形ACFG,连接DF,过DF的中点M作MN垂直于BC于N.
(1)点N是BC中点,你能说说其中的道理吗?
(2)试探索线段MN与BC的数量关系怎样,并说出你的理由.
这是图C:\Documents and Settings\Administrator\桌面

Answer 1

(1)作AP⊥BC于P;作DQ⊥BC,并交CB的延长线于Q;
作FR⊥BC,并交BC的延长线于R.
在Rt△APC与Rt△CRF中,∵AC=CF,∠ACP=∠CFR(都是∠FCR的补角),
∴Rt△APC≌Rt△CRF.∴AP=CR,PC=FR.
同理,Rt△APB≌Rt△BQD,AP=BQ,PB=DQ.
∵M是DF的中点,MN⊥BC,∴MN‖FR‖DQ,N必为QR的中点.
又∵QR=BQ+BC+CR=BC+2AP,∴N平分BC+2AP,∴QN=1/2BC+AP,
因此,N为BC的中点.
（2）又MN是直角梯形DQRF的中位线,
∴MN=1/2(FR+DQ)=1/2(PC+PB)=1/2BC.
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