如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（Ⅰ）求证：MD=ME；（Ⅱ）如图2，连OD，OE，当∠C=30°时，求证：四边形ODME是菱形．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．
（Ⅰ）求证：MD=ME；
（Ⅱ）如图2，连OD，OE，当∠C=30°时，求证：四边形ODME是菱形．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，点M是AC的中点，
∴MA=MB，
∴∠A=∠MBA；
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠ADE+∠ABE=180°，
而∠ADE+∠MDE=180°，
∴∠MDE=∠MBA；
同理可得∠MED=∠A，
∴∠MDE=∠MED，
∴MD=ME；

（2）∵∠C=30°，
∴∠A=60°，
∴∠ABM=60°，
∴△OAD和△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AC，
同理可得OD∥BM，
∴四边形DOEM为平行四边形，
而OD=OE，
∴四边形ODME是菱形．