（2014•昌平区二模）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面AMC；（Ⅱ）求证：AC⊥BD1；（Ⅲ）在线段BB1上是否存在点P，当BPBB1=λ时，平面A1PC1∥平面AMC？若存在，求

Question

（2014•昌平区二模）已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：BD₁∥平面AMC；
（Ⅱ）求证：AC⊥BD₁；
（Ⅲ）在线段BB₁上是否存在点P，当(BP)/(BB1)=λ时，平面A₁PC₁∥平面AMC？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连结BD交AC于N，连结MN．
因为ABCD为正方形，所以N为BD中点．…（1分）
在△DBD₁中，因为M为DD₁中点，
所以BD₁∥MN．…（2分）
因为MN⊂平面AMC，BD₁不包含于平面AMC，…（4分）
所以BD₁∥平面AMC．…（5分）
（Ⅱ）证明因为ABCD为正方形，
所以AC⊥BD．…（6分）
因为DD₁⊥平面ABCD，
所以DD₁⊥AC．…（7分）
因为DD₁∩BD=D，…（8分）
所以AC⊥平面BDD₁．…（9分）
因为BD₁⊂平面BDD₁，
所以AC⊥BD₁．…（10分）
（Ⅲ）当λ＝(1)/(2)，即点P为线段BB₁的中点时，平面A₁PC₁∥平面AMC．…（11分）
因为AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，
所以四边形AA₁C₁C是平行四边形．
所以AC∥A₁C₁．…（12分）
取CC₁的中点Q，连结MQ，QB．
因为M为DD₁中点，
所以MQ∥AB，且MQ=AB，
所以四边形ABQM是平行四边形．
所以BQ∥AM．…（13分）
同理BQ∥C₁P．
所以AM∥C₁P．
因为A₁C₁∩C₁P=C₁，AC∩AM=A，
所以平面A₁PC₁∥平面AMC．…（14分）