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三角形ABC中,D为AC中点,AB等于3,BD等于BC,三角形ABC面积为3求角A大小
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三角形ABC中,D为AC中点,AB等于3,BD等于BC,三角形ABC面积为3求角A大小
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答案和解析
由余弦定理得
BD²=AB²+AC²-2AB×ACcosA
BC²=AB²+AD²-2AB×ADcosA
∵BD=BC AD=1/2AC
∴AB²+AC²-2AB×ACcosA=AB²+AD²-2AB×ADcosA
AC²-2AB×ACcosA=AC²/4-AB×ACcosA
整理得cosA=(1/4)AC
由面积得S△ABC=1/2AB×ACsinA
得sinA=2/AC
由平方得cos²A=AC²/16
sin²A=4/AC²
两式相加得cos²A+sin²A=AC²/16+4/AC²
1=AC²/16+4/AC²
整理得AC^4-16AC²+64=0
(AC²-8)²=0
AC²=8
AC=2√2(负值舍去）
∴ cosA=(1/4)AC=（1/4）×2√2=√2/2
∴A=45°
BD²=AB²+AC²-2AB×ACcosA
BC²=AB²+AD²-2AB×ADcosA
∵BD=BC AD=1/2AC
∴AB²+AC²-2AB×ACcosA=AB²+AD²-2AB×ADcosA
AC²-2AB×ACcosA=AC²/4-AB×ACcosA
整理得cosA=(1/4)AC
由面积得S△ABC=1/2AB×ACsinA
得sinA=2/AC
由平方得cos²A=AC²/16
sin²A=4/AC²
两式相加得cos²A+sin²A=AC²/16+4/AC²
1=AC²/16+4/AC²
整理得AC^4-16AC²+64=0
(AC²-8)²=0
AC²=8
AC=2√2(负值舍去）
∴ cosA=(1/4)AC=（1/4）×2√2=√2/2
∴A=45°
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