如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求证：PD=PE．

Question

如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求证：PD=PE．

Answer 1

证明：如图，分别取AB、AC的中点M、N，连接DM、PM、PN、NE．
∵点P为△ABC的边BC的中点，
∴PM为△ABC的中位线，
∴PM=(1)/(2)AC．
又∵NE为直角△AEC斜边上的中线，
∴NE=AN=(1)/(2)AC，
∴MP=NE．
同理DM=PN．
∵DM=AM，
∴∠1=∠3，
∴∠5=2∠1（三角形外角定理）．
同理，∠6=2∠2．
又∠1=∠2，
∴∠5=∠6．
又 PM∥AC，PN∥AB，
∴∠7=∠9，∠8=∠9，
∴∠7=∠8，
∴∠5+∠7=∠6+∠8，即∠DMP=∠PNE，
∴在△MDP与△NPE中，

DM=PM

∠DMP=∠PNE

MP=NE

，
∴△MDP≌△NPE（SAS），
∴PD=PE．