求证：三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点

Question

求证：三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点,那么第三条也经过这个点

Answer 1

证明：设三个平面为α,β,γ,
且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a；∵α∩β=c,α∩γ=b,∴c⊂α,b⊂α；
∴c与b交于一点,或互相平行．
（1）如图①,若c与b交于一点,可设c∩b=P．
由P∈c,且c⊂β,有P∈β；又由P∈b,b⊂γ,有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；
所以,直线a,b,c交于一点（即P点）．
图①；       图②
（2）如图②,若c∥b,则由b⊂γ,且c⊄γ,∴c∥γ；又由c⊂β,
且β∩γ=a,∴c∥a；所以a,b,c互相平行．